Question

【題目】若關(guān)于的二次函數(shù)（為常數(shù)）與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，其圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若、、，求此二次函數(shù)的解析式并寫出二次函數(shù)的對(duì)稱軸；

（2）如圖1，若，，為直角三角形，是以的等邊三角形，試確定的值；

（3）設(shè)為正整數(shù)，且，，為任意常數(shù)，令，，如果對(duì)于一切實(shí)數(shù)，始終成立，求的值．

Answer 1

【答案】（1），對(duì)稱軸；（2）；（3）或．

【解析】

（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x+2）（x-4）=a（x2-2x-8），即可求解；

（2）設(shè)，，，由，得到，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到；由為邊長(zhǎng)2的等邊三角形，則，得到；由，得到，聯(lián)立方程組，即可求出a、b、c的值.

（3）先表示出解析式，求出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)，得到AB=x2-x1=|mt+3|≥|2t+n|，對(duì)于一切實(shí)數(shù)t，上式都成立，則必然存在|mt+3|=|2t+n|，結(jié)合一元二次方程根的判別式即可求解．

解：（1）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x+2）（x-4）=a（x2-2x-8），

把點(diǎn)C代入，則-8a=3，

解得：，

∴，

∴；

∴對(duì)稱軸；

（2）設(shè)，，，

∵為直角三角形，且，

∴，

∴，

∴，

令，，

則，

∴，

∴①；

又∵為邊長(zhǎng)2的等邊三角形，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)中縱坐標(biāo)為，且．

∴，

∴②；

又∵

∴③

由①②③得：，

解得：；

（3）根據(jù)題意，解析式：．

令，，

∴，

∴，，

∴AB=；

∴（兩邊平方），

∴，

∴，

∴恒成立．

∴，

∴且為正整數(shù)

∴或．