Question

【題目】如圖1，已知直線y=﹣2x+4與兩坐標軸分別交于點A、B，點C為線段OA上一動點，連接BC，作BC的中垂線分別交OB、AB交于點D、E．

（l）當點C與點O重合時，DE= ；

（2）當CE∥OB時，證明此時四邊形BDCE為菱形；

（3）在點C的運動過程中，直接寫出OD的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明詳見解析；（3）≤OD≤2．

【解析】

試題分析：（1）畫出圖形，根據DE垂直平分BC，可得出DE是△BOA的中位線，從而利用中位線的性質求出DE的長度；

（2）先根據中垂線的性質得出DB=DC，EB=EC，然后結合CE∥OB判斷出BE∥DC，得出四邊形BDCE為平行四邊形，結合DB=DC可得出結論．

（3）求兩個極值點，①當點C與點A重合時，OD取得最小值，②當點C與點O重合時，OD取得最大值，繼而可得出OD的取值范圍．

試題解析：解：∵直線AB的解析式為y=﹣2x+4，

∴點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（0，4），即可得OB=4，OA=2，

（1）當點C與點O重合時如圖所示，

∵DE垂直平分BC（BO），

∴DE是△BOA的中位線，

∴DE=OA=1；

（2）當CE∥OB時，如圖所示：

∵DE為BC的中垂線，

∴BD=CD，EB=EC，

∴∠DBC=∠DCB，∠EBC=∠ECB，

∴∠DCE=∠DBE，

∵CE∥OB，

∴∠CEA=∠DBE，

∴∠CEA=∠DCE，

∴BE∥DC，

∴四邊形BDCE為平行四邊形，

又∵BD=CD，

∴四邊形BDCE為菱形．

（3）當點C與點O重合時，OD取得最大值，此時OD=OB=2；

當點C與點A重合時，OD取得最小值，如圖所示：

在Rt△AOB中，AB==2，

∵DE垂直平分BC（BA），

∴BE=BA=，

易證△BDE∽△BAO，

∴，即，

解得：BD=，

則OD=OB﹣BD=4﹣=．

綜上可得：≤OD≤2．