Question

【題目】在正方形ABCD中，點E、F在邊AB、CD上，點G、H在邊AD、CB上，EF和GH相交于點O，∠DGH＝70°，按下列要求分別畫出EF

（1）當∠GOE＝90°時，求證：EF＝GH；

（2）當EF＝GH時，畫出示意圖，直接寫出∠GOE的度數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析，∠GOE＝90°或50°．

【解析】

（1）作ET⊥CD于T，作HR⊥AD于R，構造兩個直角三角形，利用正方形四邊相等，四個角都是直角，且∠GOE＝90°，證明這兩個直角三角形全等，即可；

（2）同理，構造兩個直角三角形，利用正方形四邊相等，四個角都是直角，且EF＝GH，證明這兩個直角三角形全等，即可求得答案.要注意EF與GH的兩種不同的相交情況.

解：（1）如圖1，過點E作ET⊥CD于T，過點H作HR⊥AD于R，

則∠ETF＝∠HRG＝90°

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC

∴四邊形ABHR、四邊形BCTE均為矩形

∴HR＝AB＝BC＝ET

∵∠GOE＝90°

∴∠GOF＝90°，∠GOF+∠D＝180°

∵∠DGO+∠DFO+∠GOF+∠D＝360°

∴∠DGO+∠DFO＝180°

∵∠EFT+∠DFO＝180°

∴∠DGO＝∠EFT

∴△EFT≌△HGR（AAS）

∴EF＝GH；

（2）如圖2，過點E作ET⊥CD于T，過點H作HR⊥AD于R，

則∠ETF＝∠HRG＝90°

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC

∴四邊形ABHR、四邊形BCTE均為矩形

∴HR＝AB＝BC＝ET

∵EF＝GH

∴Rt△EFT≌Rt△HGR（HL）

∴∠EFT＝∠HGR

∵∠EFT+∠DFO＝180°

∴∠HGR+∠DFO＝180°

∵∠HGR+∠DFO+∠GOF+∠D＝360°

∴∠GOF+∠D＝180°

∴∠GOF＝90°

∴∠GOE＝90°

如圖3，過點E作ET⊥CD于T，過點H作HR⊥AD于R，

則∠ETF＝∠HRG＝90°

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC

∴四邊形ABHR、四邊形BCTE均為矩形

∴HR＝AB＝BC＝ET

∵EF＝GH

∴Rt△EFT≌Rt△HGR（HL）

∴∠EFT＝∠HGR＝70°

∵∠HGR+∠DFO+∠GOF+∠D＝360°

∴∠FOG＝130°

∴∠GOE＝180°﹣∠FOG＝180°﹣130°＝50°

綜上所述，∠GOE＝90°或50°．