Question

【題目】模型建立：如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經過點，過作于，過作于．

（1）求證：；

（2）模型應用：

①已知直線l1：與y軸交于點，將直線l1繞著點順時針旋轉45°至l2，如圖2，求l2的函數解析式；

②如圖3，長方形ABCO，為坐標原點，的坐標為（8，6），、分別在坐標軸上，是線段上動點，點是直線上的一點，若△APD是以點D為直角頂點的等腰Rt△，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②（-6，8）或（-2，0）．

【解析】

（1）先根據△ABC為等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可得△ACD≌△CBE，由全等三角形的性質可得；
（2）①如圖2中，設直線l1交x軸于B，作BP⊥AC于P，作PE⊥OB于E，PF⊥y軸于F．首先證明四邊形PEOF是正方形，求出點P的坐標，利用待定系數法即可解決問題．
②當點D為直角頂點，分點D在直線PA的上方或下方兩種情況，如圖3所示，當點D′在直線PA上方時，∠A D′P=90°時，A D′=P D′，設D′（x，-2x-4），利用三角形全等得到-2x-10=x+8，x=-6，OF=-2x-4 =8，即可得出結論；同理，再求出點D在直線PA下方時點的坐標．

（1）證明：如圖1中，

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD與△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
∴；
（2）①如圖2中，設直線l1交x軸于B，作BP⊥AC于P，作PE⊥OB于E，PF⊥y軸于F．

由（1）可知△PBE≌△PAF，
∴BE=AF，PE=PF，設PE=PF=a，
∵∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四邊形PEOF是矩形，
∵PE=PF，
∴四邊形PEOF是正方形，
∴OE=OF=a，
∵=0時，x=-28,；x=0時，y=-4，

∴B（-28，0），A（0，-4），
∴a+4+a=28，
∴a=12，
∴P（-12，12），設直線l2的解析式為y=kx+b則有，

解得，
∴直線l2的解析式為；
②如圖3中，

當點D位于直線上，點D為直角頂點時，分兩種情況，
當點D′在直線PA上方時，過D′作x軸的平行線EF，交直線OA于F，交直線BC于E，設D′（x，-2x-4）；
則OF=-2x-4，AF=（-2x-4）-6=-2x-10，D′E=EF-D′F=x+8；
由（1）可知△AD′F≌△D′PE，得D′E=AF，即：
-2x-10=x+8，x=-6，OF=-2x-4 =8，
∴D′（-6，8）；
當點D在直線PA下方時，同理可得D（-2，0），

綜上所述，滿足條件的點D的坐標為（-6，8）或（-2，0）．