Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+c過點（﹣2，2），（4，5），過定點F（0，2）的直線l：y=kx+2與拋物線交于A、B兩點，點B在點A的右側(cè)，過點B作x軸的垂線，垂足為C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當點B在拋物線上運動時，判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系（＞、＜、=），并證明你的判斷；
（3）P為y軸上一點，以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，設(shè)點P（0，m），求自然數(shù)m的值；
（4）若k=1，在直線l下方的拋物線上是否存在點Q，使得△QBF的面積最大？若存在，求出點Q的坐標及△QBF的最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得 ，解得 ，

所以拋物線解析式為y= x2+1；

（2）

解：BF=BC．

理由如下：

設(shè)B（x， x2+1），而F（0，2），

∴BF2=x2+（ x2+1﹣2）2=x2+（ x2﹣1）2=（ x2+1）2，

∴BF= x2+1，

∵BC⊥x軸，

∴BC= x2+1，

∴BF=BC；

（3）

解：如圖1，

m為自然數(shù)，則點P在F點上方，

∵以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，

∴CB=CF=PF，

而CB=FB，

∴BC=CF=BF，

∴△BCF為等邊三角形，

∴∠BCF=60°，

∴∠OCF=30°，

在Rt△OCF中，CF=2OF=4，

∴PF=CF=4，

∴P（0，6），

即自然數(shù)m的值為6；

（4）

解：作QE∥y軸交AB于E，如圖2，

當k=1時，一次函數(shù)解析式為y=x+2，

解方程組 得 或 ，則B（1+ ，3+ ），

設(shè)Q（t， t2+1），則E（t，t+2），

∴EQ=t+2﹣（ t2+1）=﹣ t2+t+1，

∴S△QBF=S△EQF+S△EQB= （1+ ）EQ= （1+ ））（﹣ t2+t+1）=﹣ （t﹣2）2+ +1，

當t=2時，S△QBF有最大值，最大值為 +1，此時Q點坐標為（2，2）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）設(shè)B（x， x2+1），而F（0，2），利用兩點間的距離公式得到BF2=x2+（ x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到BF= x2+1，由于BC= x2+1，所以BF=BC；（3）如圖1，利用菱形的性質(zhì)得到CB=CF=PF，加上CB=FB，則可判斷△BCF為等邊三角形，所以∠BCF=60°，則∠OCF=30°，于是可計算出CF=4，所以PF=CF=4，從而得到自然數(shù)m的值為6；（4）作QE∥y軸交AB于E，如圖2，先解方程組 得B（1+ ，3+ ），設(shè)Q（t， t2+1），則E（t，t+2），則EQ=﹣ t2+t+1，則S△QBF=S△EQF+S△EQB= （1+ ）EQ= （1+ ））（﹣ t2+t+1），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．