Question

【題目】如圖，半徑為 1 的小圓與半徑為 2 的大圓，有一個公共點(diǎn)與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，兩圓在數(shù)軸上做無滑動的滾動，小圓的運(yùn)動速度為每秒π個單位，大圓的運(yùn)動速度為每秒 2π個單位，

（1）若小圓不動，大圓沿?cái)?shù)軸來回滾動，規(guī)定大圓向右滾動的時間記為正數(shù)，向左滾動時間即為負(fù)數(shù)，依次滾動的情況錄如下（單位：秒）：

﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6

①第 次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)；

②當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動時，大圓運(yùn)動的路程共有多少？此時兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是多少？（結(jié)果保留π）

（2）若兩圓同時在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動，滾動一段時間后兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距 9π，求此時兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)①4②8π;(2)小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為6π.

或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣6π

【解析】

（1）①算出每次滾動后大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后比較大小即可；②總路程與方向無關(guān)把每次的移動的距離相加即可；
（2）分同向和反相兩種情況討論，同向路程之差為9π，反向路程之和為9π，然后求出相應(yīng)時間，再根據(jù)不同方向確定兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù).

解：（1）①：第1次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π|＝2π

第2次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π|＝2π

第3次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π

第4次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π

第5次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π

第6次滾動后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π，所以第四次滾動后大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)．故答案為4；

②總路程為：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π

此時兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離為：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π

（2）當(dāng)它們同向運(yùn)動時秒，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣18π，當(dāng)它們反向運(yùn)動時秒，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為6π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為﹣6π.