Question

在直角梯形中, , 高(如圖1). 動點同時從點出發, 點沿運動到點停止, 點沿運動到點停止,兩點運動時的速度都是1cm/s,而當點到達點時,點正好到達點. 設同時從點出發,經過的時間為(s)時, 的面積為 (如圖2). 分別以為橫、縱坐標建立直角坐標系, 已知點在邊上從到運動時, 與的函數圖象是圖3中的線段.

(圖1)                      (圖2)                (圖3)
（1）分別求出梯形中的長度;
（2）分別寫出點在邊上和邊上運動時, 與的函數關系式(注明自變量的取值范圍), 并在圖3中補全整個運動中關于的函數關系的大致圖象.
（3）問：是否存在這樣的t,使PQ將梯形ABCD的面積恰好分成1:6的兩部分？若存在,求出這樣的t的值；若不存在,請說明理由．

Answer 1

（1）；
（2）當點在上時,；當點在上時,；圖象見解析；
（3）或6.

解析試題分析：（1）P在AD邊上運動時,三角形BQP以BQ為底邊,以CD的長為高,因此可根據三角形BQP的面積,求出BC,而P、Q速度相同,P到A的時間與Q到C的時間相同,因此BA=BC．求AD的長可通過構建直角三角形來求解．
（2）三角形BQP中,BQ=t,BP=t,以BQ為底邊的高,可用BP•sinB來表示,然后可根據三角形的面積計算公式得出關于y,t的函數關系式．
（3）PQ將梯形ABCD的面積分成兩部分,左邊部分面積逐漸增大,右邊面積逐漸減少,故有兩種可能,一是左邊面積等于梯形ABCD面積的 ,另一種是右邊面積等于梯形ABCD面積的.
試題解析：（1）設動點出發t秒后,點P到達點A且點Q正好到達點C時,BC=BA=t,
則S_△BPQ= ×t×3.6=10.8,
所以t=6（秒）．
則BA=6（cm）,
過點A作AH⊥BC于H,
則四邊形AHCD是矩形,

∴AD=CH,CD=AH=3.6cm,
在Rt△ABH中,BH= cm,
∴CH=1.2cm,
∴AD=1.2cm；
（2）當點在上時,；
當點在上時,;
整個運動中關于的函數關系的大致圖象：

（3）梯形ABCD的面積： 
設存在這樣的t,使PQ將梯形ABCD的面積恰好分成1:6的兩部分,
當點在上時,△PQB的面積是：,故有：,此時： ;
當點與點上重合時,點與點上重合,△PQB的面積是： ,此時：,也滿足PQ將梯形ABCD的面積恰好分成1:6的兩部分.所以：或6.
考點：二次函數綜合題．