Question

閱讀下列解題過程：

1

5 + 3

=

1×( 5 - 3 )

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

=

5 - 3

( 5 )2-( 3 )2

=

5 - 3

2

；

1

7 + 5

=

1×( 7 - 5 )

( 7 + 5 ) 7 - 5 )

=

7 - 5

( 7 )2-( 5 )2

=

7 - 5

2

．
請回答下列問題：
（1）觀察上面的解題過程，請直接寫出

1

2n+1 + 2n-1

的結果為

 

；
（2）利用上面提供的解法，請化簡：
(

1

1+ 3

+

1

3 + 5

+…+

1

197 + 199

+

1

199 + 201

)(

201

+1)．

Answer 1

分析：（1）觀察閱讀材料的解題過程，實質是二次根式的分母有理化，因此解答（1）題的關鍵是找出分母的有理化因式．
（2）先將第一個括號內的各式分母有理化，此時發現除第一項和最后一項外，每兩項都互為相反數，由此可求出第一個括號內各式的和，再求和第二個括號的乘積即可．

解答：解：（1）

1

2n+1 + 2n-1

=

2n+1 - 2n-1

2

；

（2）原式=-

1

2

(1-

3

+

3

-

5

+…+

199

-

201

)(

201

+1)
=-

1

2

(1-

201

)(

201

+1)
=100．

點評：此題考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加減法，關鍵是尋找分母有理化后的抵消規律．