Question

【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是AD的中點，N是BC延長線上一點，連結PN，過點P作PN的垂線，交AB于點E，交CD的延長線于點F，連結EN，FN，設CN=x，AE=y．

（1）求證：PE=PF；
（2）當0＜x＜ 時，求y關于x的函數表達式；
（3）若將“矩形ABCD”變為“菱形ABCD”，如圖（2），AB=BC=4，∠B=60°，當0＜x＜3時，其它條件不變，求此時y關于x的函數表達式．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵P是AD的中點，四邊形ABCD是矩形，

∴AP=DP，∠A=∠PDF=90°，

在△APE和△DPF中，

∵ ，

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴PE=PF

（2）

解：如圖1，過點N作NQ⊥AD交AD延長線于Q，

∴四邊形CDQN是矩形，

∴CN=DQ=x，CD=NQ=4，

又∵AD=BC=6，P是AD中點，

∴AP=PD=3，

∴PQ=3+x，

∵NP⊥EF，

∴∠APE+∠NPQ=90°，

∵∠APE+∠AEP=90°，

∴∠NPQ=∠PEA，

∵∠A=∠PQN=90°，

∴△APE∽△QNP，

∴ ，即 ，

∴y= x+

（3）

解：如圖2，過點N作NQ∥CD交AD延長線于點Q，

∴四邊形CDQN是平行四邊形，

∴CN=DQ=x，CD=NQ=4，

∵PD=PA= AD=2，

∴PQ=2+x，

過點N作NH⊥PQ于H，

∵∠DQN=∠DCN=∠B=60°，

∴HQ=NQcos∠DQN=4× =2，NH=NQsin∠DQN=4× =2 ，

∴PH=PQ﹣HQ=x，

過點E作EG⊥DA交DA延長線于G，

∵AE=y，∠GAE=∠B=60°，

∴AG=AEcos∠GAE= y，EG=AEsin∠GAE= y，

∴PG=PA+AG=2+ y，

∵∠EGP=∠PHN=∠EPN=90°，

∴∠EPG+∠PEG=∠EPG+∠NPD=90°，

∴∠PEG=∠NPD，

∴△PEG∽△NPD，

∴ ，即 ，

∴y=

【解析】（1）證△APE≌△DPF即可得；（2）過點N作NQ⊥AD交AD延長線于Q，可得四邊形CDQN是矩形，從而表示出PQ、NQ的長，再證△APE∽△QNP可得 ，據此可得函數解析式；（3）過點N作NQ∥CD交AD延長線于點Q，可得四邊形CDQN是平行四邊形，據此知PQ=2+x、NQ=4，再過點N作NH⊥PQ于H，由∠DQN=60°得HQ=2、NH=2 ，從而表示出PH的長，過點E作EG⊥DA交DA延長線于G，由AE=y、∠GAE=∠B=60°得AG、EG的長，繼而可得PG的長，最后證△PEG∽△NPD得 ，據此即可得答案．