Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當BM+BN最小時，∠MBN＝_____度．

Answer 1

【答案】30．

【解析】

如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH．證明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共線時，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此時∠MBN即可解決問題．

解：如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH．

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，

∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，

∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，

∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，

∴△ABM≌△CHN（SAS），

∴BM＝HN，

∵BN+HN≥BH，

∴B，N，H共線時，BM+BN＝NH+BN的值最小，

如圖2中，當B，N，H共線時，

∵△ABM≌△CHN，

∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，

∵∠ABD＝60°，

∴∠DBM＝15°，

∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，

∴當BM+BN的值最小時，∠MBN＝30°，

故答案為30．