Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．

（1）求證：△AEF≌△DEC；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當△ABC滿足AB=AC時，四邊形AFBD是矩形，理由見解析

【解析】

（1）利用平行線性質得出∠AFE=∠DCE，然后結合題意可知AE=DE，由此進一步證明△AEF與△DEC全等即可；

（2）首先根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形AFBD為平行四邊形，然后進一步根據“有一個角為直角的平行四邊形為矩形”得出∠ADB=90°，最后根據等腰三角形“三線合一”可知需要AB=AC，由此即可得出答案.

（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵點E是AD中點，

∴AE=DE，

在△AEF與△DEC中，

∵∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，

∴△AEF△DEC（AAS）；

（2）當△ABC滿足AB=AC時，四邊形AFBD是矩形，理由如下：

∵△AEF△DEC，

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴DC=BD，

∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD為平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴平行四邊形AFBD為矩形.