Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求x₁，x₂的值；
（2）若x₁，x₂是某直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)，問當(dāng)實(shí)數(shù)m，p滿足什么條件時(shí)，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)方程，用分解因式法求出兩根；
（2）直角三角形的面積為

1

2

x₁x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到關(guān)于p的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)可以求出什么時(shí)候有最大值．

解答：解：（1）原方程變?yōu)椋簒²-（m+2）x+2m=p²-（m+2）p+2m，
∴x²-p²-（m+2）x+（m+2）p=0，
（x-p）（x+p）-（m+2）（x-p）=0，
即（x-p）（x+p-m-2）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2-p；

（2）根據(jù)（1）得到
直角三角形的面積為

1

2

x₁x₂=

1

2

p（m+2-p）
=-

1

2

p²+

1

2

（m+2）p
=-

1

2

（p-

m+2

2

）²+

(m+2)2

8

，
∴當(dāng)p=

m+2

2

（m＞-2）時(shí)，以x₁，x₂為兩直角邊長(zhǎng)的直角三角形的面積最大，最大面積為

(m+2)2

8

或

1

2

p²．

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合性較強(qiáng)的題，利用了分解因式法求方程的根，利用了二次函數(shù)求最值．