Question

已知x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²=0的兩個實數根，使得（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80成立，求其實數a的可能值．

Answer 1

分析：由于x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²=0的兩個實數根，利用根與系數的關系可以得到x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²，然后把（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）乘開，接著整體代入前面等式的值即可得到關于a的方程，解方程即可求解．

解答：解：∵x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²+（3a-1）x+2a²=0的兩個實數根，a=1，b=（3a-1），c=2a²，
∴x₁+x₂=-（3a-1），x₁•x₂=2a²，
而（3x₁-x₂）（x₁-3x₂）=-80，
∴3x₁²-10x₁x₂+3x₂²=-80，
3（x₁+x₂）²-16x₁x₂=-80，
∴3[-（3a-1）]²-16×2a²=-80，
∴27a²-18a+3-32a²=-80，
∴5a²+18a-83=0，
∴a=

-9±4 31

5

，
當a=

-9+4 31

5

時，方程x²+（3a-1）x+2a²=0的△＜0，
∴不合題意，舍去
∴a=

-9-4 31

5

．

點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．