Question

【題目】∠MON=90°，點A，B分別在OM、ON上運動（不與點O重合）．

（1）如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點A、點B的運動，∠AEB=　　°

（2）如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點D

①若∠BAO=60°，則∠D=　　　　°．

②隨著點A，B的運動，∠D的大小會變嗎？如果不會，求∠D的度數；如果會，請說明理由．

（3）如圖③，延長MO至Q，延長BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長線相交于點E、F，在△中，如果有一個角是另一個角的3倍，求∠ABO的度數．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）①45°，②不發生變化，45°；（3）60°或45°

【解析】

（1）利用三角形內角和定理、兩角互余、角平分線性質即可求解；

（2）①利用對頂角相等、兩角互余、兩角互補、角平分線性質即可求解；

②證明和推理過程同①的求解過程；

（3）由（2）的證明求解思路，不難得出=90°，如果有一個角是另一個角的3倍，所以不確定是哪個角是哪個角的三倍，所以需要分情況討論；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍.

（1）

（2）①如圖所示

AD與BO交于點E，

②∠D的度數不隨A、B的移動而發生變化

設，因為AD平分∠BAO，所以，因為∠AOB=90°，所以。因為BC平分，所以。又因為。所以

（3）因為∠BAO與∠BOQ的平分線交于點E，

所以，

所以

因為AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的平分線，

所以在△AEF中，若有一個角是另一個角的3倍，

則①當時，得，此時

②當時，得，此時，舍去。

③當時，得，此時

④當時，得，此時，舍去。

綜上可知，∠ABO的度數為60°或45°。