Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的直線交x軸于C，且△ABC面積為10．

（1）求點C的坐標及直線BC的解析式；

（2）如圖1，設點F為線段AB中點，點G為y軸上一動點，連接FG，以FG為邊向FG右側作正方形FGQP，在G點的運動過程中，當頂點Q落在直線BC上時，求點G的坐標；

（3）如圖2，若M為線段BC上一點，且滿足S△AMB＝S△AOB，點E為直線AM上一動點，在x軸上是否存在點D，使以點D，E，B，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（3，0），直線BC的解析式為y＝﹣x+4；（2）滿足條件的點G坐標為（0，）或（0，﹣1）；（3）存在，滿足條件的點D的坐標為（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）

【解析】

（1）利用三角形的面積公式求出點坐標，再利用待定系數法即可解決問題．

（2）分兩種情形：①當時，如圖中，點落在上時，過作直線平行于軸，過點，作該直線的垂線，垂足分別為，．求出．②當時，如圖中，同法可得，利用待定系數法即可解決問題．

（3）利用三角形的面積公式求出點的坐標，求出直線的解析式，作交直線于，此時，，當時，可得四邊形，四邊形是平行四邊形，可得，，，，再根據對稱性可得解決問題．

解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，

，，

，，

，

，

，

，

設直線的解析式為，則有，

．

直線的解析式為．

（2），，，

，設，

①當時，如圖中，點落在上時，過作直線平行于軸，過點，作該直線的垂線，垂足分別為，．

四邊形是正方形，易證，

，，

，

點在直線上，

，

，

．

②當時，如圖中，同法可得，

點在直線上，

，

，

．

綜上所述，滿足條件的點坐標為或．

（3）如圖3中，設，

，

，

，

，

，，

直線的解析式為，

作交直線于，此時，，

當時，可得四邊形，四邊形是平行四邊形，可得，，，，

根據對稱性可得點關于點的對稱點，也符合條件，

綜上所述，滿足條件的點的坐標為，或，或，．