Question

（2013•東城區一模）在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按這樣的規律進行下去，第2013個正方形的面積為

5×（

9

4

）²⁰¹²

．

Answer 1

分析：根據點A、D的坐標求出OA、OD的長，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A₁BA相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出A₁B，從而求出第二個正方形的邊長A₁C=A₁B₁，同理求出第三個正方形的邊長A₂C₁=A₂B₂，根據規律求出第2013個正方形的邊長，再根據正方形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：∵點A（1，0），點D（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∴AD=

OD2+OA2

=

22+12

=

5

，
∵∠ADO+∠DAO=180°-90°=90°，
∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
又∵∠AOD=∠ABA₁=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AB

=

OA

A1B

，
∴A₁B=

OA•AB

OD

=

5

2

，
∴第二個正方形的邊長：A₁C=A₁B₁=

5

+

5

2

=

3 5

2

，
同理A₂B₁=

1

2

×

3 5

2

=

3 5

4

，
∴第三個正方形的邊長：A₂C₁=A₂B₂=

3 5

2

+

3 5

4

=

9 5

4

=（

3

2

）²

5

，
第四個正方形的邊長：

9 5

4

+

9 5

8

=

27 5

8

=（

3

2

）³

5

，
…，
第2013個正方形的邊長：(

3

2

)2012×

5

，
∴第2013個正方形的面積為[(

3

2

)2012×

5

]²=5×（

9

4

）²⁰¹²．
故答案為：5×（

9

4

）²⁰¹²．

點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，依次求出正方形的邊長是解題的關鍵．