Question

24、已知：a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，試判斷△ABC的形狀．
解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，①
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²）．②
∴c²=a²+b²．③
∴△ABC是直角三角形．
問：
（1）在上述解題過程中，從哪一步開始出現錯誤？請寫出該步的代號：

③

；
（2）錯誤的原因為

除式可能為0

；
（3）本題正確的解題過程：

Answer 1

分析：（1）（2）兩邊都除以a²-b²，而a²-b²的值可能為零，由等式的基本性質，等式兩邊都乘以或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立．
（3）根據等式的基本性質和勾股定理，分情況加以討論．

解答：解：（1）③
（2）除式可能為零；
（3）∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，
∴c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），
∴a²-b²=0或c²=a²+b²，
當a²-b²=0時，a=b；
當c²=a²+b²時，∠C=90°，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故答案是③，除式可能為零．

點評：本題考查勾股定理的逆定理的應用、分類討論．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．