Question

（1）如圖，A₁，A₂，A₃是拋物線y=

1

4

x²圖象上的三點，若A₁，A₂，A₃三點的橫坐標從左至右依次為1，2，3．求△A₁A₂A₃的面積．
（2）若將（1）問中的拋物線改為y=

1

4

x²-

1

2

x+2和y=ax²+bx+c（a＞0），其他條件不變，請分別直接寫出兩種情況下△A₁A₂A₃的面積．
（3）現有一拋物線組：y₁=

1

2

x²-

1

3

x；y₂=

1

6

x²-

1

12

x；y₃=

1

12

x²-

1

25

x；y₄=

1

20

x²-

1

42

x；y₅=

1

30

x²-

1

63

x；…依據變化規律，請你寫出拋物線組第n個式子y_n的函數解析式；現在x軸上有三點A（1，0），B（2，0），C（3，0）．經過A，B，C向x軸作垂線，分別交拋物線組y₁，y₂，y₃，…，y_n于A₁，B₁，C₁；A₂，B₂，C₂；A₃，B₃，C₃；…；A_n，B_n，C_n．記S△A1B1C1為S₁，S△A2B2C2為S₂，…，S△AnBnCn為S_n，試求S₁+S₂+S₃+…+S₁₀的值．
（4）在（3）問條件下，當n＞10時有S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n的值不小于

11

242

，請探求此條件下正整數n是否存在最大值？若存在，請求出此值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線解析式，求出A₁，A₂，A₃三點的坐標，根據圖中幾何關系把所求三角形的面積，轉化為一個大梯形面積減去兩個小梯形的面積，從而求出三角形的面積．第二問與第一問解法一樣；
（3）由y₁，y₂…y₅的表達式，歸納出y_n的表達式，同時推出面積公式S_n，然后求和．
（4）由（3）的結論，先求和再求n是否存在最大值．

解答：解：（1）∵A₁（1，

1

4

），A₂（2，1），A₃（3，

9

4

），（1分）
∴S_△A1A2A3=S_梯形A1ACA3-S_梯形A1ABA2-S_梯形A2BCA3=

( 1 4 + 9 4 )×2

2

-

( 1 4 +1)×1

2

-

(1+ 9 4 )×1

2

=

1

4

．
（3分）

（2）①S△A1A2A3=

1

4

，（4分）
②S△A1A2A3=α．（5分）

（3）由規律知：yn=

1

n(n+1)

x2-

1

(2n-1)(n+2)

x或寫成（yn=

1

n2+n

x2-

1

2n2+3n-2

x），（6分）
由（1）（2）知：S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

110

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

10

-

1

11

=1-

1

11

=

10

11

．（8分）

（4）存在，
由上知：S_n-10+S_n-9+S_n-8+…S_n=

1

(n-10)(n-9)

+

1

(n-9)(n-8)

+

1

(n-8)(n-7)

+…+

1

n(n+1)

=

1

n-10

-

1

n-9

+

1

n-9

-

1

n-8

+

1

n-8

-

1

n-7

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

n-10

-

1

n+1

=

11

n2-9n-10

，（9分）
∵Sn-10+Sn-9+Sn-8+…+Sn≥

11

242

∴

11

n2-9n-10

≥

11

242

，
∵n＞10，
∴n²-9n-10＞0，
∴n²-9n-10≤242，（10分）
解得-12≤n≤21，
又∵n＞10，
∴10＜n≤21，（11分）
∴存在n的最大值，其值為n=21．（12分）

點評：此題是一道規律題，考查拋物線基本性質，巧妙用幾何關系，求三角形面積，歸納出規律然后求和，最后一問探究正整數n是否存在最大值，轉化為求函數最值問題．