Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半徑為1．現將一個直角三角板的直角頂點與矩形的對稱中心O重合，繞著O點轉動三角板，使它的一條直角邊與⊙D切于點H，此時兩直角邊與AD交于E，F兩點，則tan∠EFO的值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】分析: 本題可以通過證明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值．

詳解: 連接DH,作OG⊥CD于G,如圖，

∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，

∴BD==2，

∵O是對稱中心，

∴OD=BD=，

∵OG⊥CD，

∴DG=CD=1,OG=BC=2，

∴OG為O的切線，

∵OH是D的切線，

∴DH⊥OH，OH=OG=2，

∵DH=1，

∴tan∠ADB==,tan∠HOD==，

∵∠ADB=∠HOD，

∴OE=ED，

設EH為x，則ED=OE=OHEH=2x，

∴1 +x =(2x) ,解得x=，

即EH=.

又∵∠FOE=∠DHO=90°，

∴FO∥DH，

∴∠EFO=∠HDE，

∴tan∠EFO=tan∠HDE==.

點睛: 本題主要是考查切線的性質及解直角三角形的應用，關鍵是利用平行把已知角代換成其它相等的容易求出其正切值的角．