Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A（a，0）、B(b，O)分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，且，點P從原點出發以每秒2個單位長度的速度沿x軸正半軸方向運動．

(1)求點A、B的坐標；

(2)連接PB，設三角形ABP的面積為s，點P的運動時間為t，請用含t的式子表示s，并直接寫出t的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，將線段OB沿x軸正方向平移，使點O與點A重合，點B的對應點為點D，連接BD，將線段PB沿x軸正方向平移，使點B與點D重合，點P的對應點為點Q，取DQ的中點H，是否存在t的值，使三角形ABP的面積等于三角形ADH的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，3）；（2）①當P在線段OA上時，S＝（）；②當P在線段OA的延長線上時，S＝（）；（3）①當P在線段OA上時， ；②當P在線段OA的延長線上時，t=4

【解析】（1）根據非負數的性質，構造二元一次方程組求解得到a、b的值即可；

（2）由題意得，OP=，分兩種情況：①當P在線段OA上時，②當P在線段OA的延長線上時，求解即可；

（3）由題意得，BD=OA，BD=PQ，OB=AD ，根據中點的性質，得到DH=HQ，過點A作AM⊥DQ于點M，得到S△AHQ= S△ADH．然后分為①當P在線段OA上時，②當P在線段OA的延長線上時，由三角形的面積求解即可.

（1）解：∵

∴．

解得．

∴A（4，0），B（0，3）．

（2）由題意得，OP=，

①當P在線段OA上時，AP=4-

∴S=×AP×OB=×（4-）×3=（）．

②當P在線段OA的延長線上時，AP=-4

∴S=×AP×OB=×（-4）×3=（）．

（3）由題意得，BD=OA，BD=PQ，OB=AD

∴OA=PQ

∵點H為DQ的中點

∴DH=HQ

過點A作AM⊥DQ于點M

∴S△AHQ=HQ×AM，S△ADH=DH×AM

∴S△AHQ= S△ADH．

①當P在線段OA上時，

∴OA-PA=PQ-PA

即 OP=AQ

∵OB∥AD

∴∠DAQ=90°

∴S△ADQ=S△OBP

∴S△ADH=S△ADQ=S△BOP．

即 =××3×

．

②當P在線段OA的延長線上時

∴OA+PA=PQ+PA

即 OP=AQ

∵OB∥AD

∴∠DAQ=90°

∴S△ADQ=S△OBP

∴S△ADH=S△ADQ=S△BOP

即 =××3×

t.