Question

【題目】如圖，已知AB是O的直徑，點C在O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求證：PC是O的切線；
（2）求證：BC= AB；
（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑．

∴PC是⊙O的切線．

（2）

證明：∵AC=PC，

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，

∴BC=OC．

∴BC= AB．

（3）

解：連接MA，MB，

∵點M是 的中點，

∴ = ，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴ ，

∴BM2=MNMC．

又∵AB是⊙O的直徑， = ，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=4，

∴BM=2 ．

∴MNMC=BM2=8．

【解析】（1）由半徑OA=OC，可得等邊對等角∠A=∠ACO，則∠COB=2∠A，已知∠COB=2∠PCB，∠A=∠ACO=∠PCB．由直徑所對的圓周角是直角可得∠ACO+∠OCB=90°．從而轉換得到∠PCB+∠OCB=90°即可證得；（2）“等角對等邊”與“等邊對等角”相互運用可證OC=BC；（3）連接MA，MB，先證明△MBN∽△MCB．則 ，即BM2=MNMC．由AB是⊙O的直徑， = ，AB=4，解出BM，從而可解得MNMC．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．