Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若B、P在直線a的異側， BM直線a于點M，CN直線a于點N，連接PM、PN；

(1) 延長MP交CN于點E(如圖2)。 求證：△BPM△CPE； 求證：PM = PN；

(2) 若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側，其它條件不變。此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

(3) 若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變。請直接判斷四邊形MBCN

的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由。

Answer 1

【答案】

(1)略

(2)成立

(3)成立

【解析】

(1) [證明] 如圖2，∵BM直線a于點M，CN直線a于點N，

∴BMN=CNM=90，∴BM//CN，∴MBP=ECP，

又∵P為BC邊中點，∴BP=CP，又∵BPM=CPE，∴△BPM△CPE，

∵△BPM△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，

∴PM=PN；

(2) 成立，如圖3，

[證明] 延長MP與NC的延長線相交于點E，∵BM直線a于點M，CN直線a于點N，

∴BMN=CNM=90，∴BMNCNM=180，∴BM//CN，∴MBP=ECP，

又∵P為BC中點，∴BP=CP，又∵BPM=CPE，∴△BPM△CPE，∴PM=PE，

∴PM=ME，則在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN。

(3) 四邊形MBCN是矩形，PM=PN成立。