Question

如圖1，二次函數的圖象為拋物線，交x軸于A、B兩點，交y軸于C點．其中AC=，BC=，．
（1）求二次函數的解析式；
（2）若P點為拋物線上一動點且在x軸下方運動，當以P為圓心，1為半徑的⊙P與直線BC相切時，求出符合條件的P點橫坐標；
（3）如圖2，若點E從點A出發，以每秒3個單位的速度沿著AB向點B勻速運動，點F從點A出發，以每秒個單位的速度沿著AC向點C勻速運動．兩點同時出發，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．過點E作AB的垂線交拋物線于點E′，作點F關于直線的對稱點F′．設點E的運動時間為t（s），點F′ 能恰好在拋物線嗎？若能，請直接寫出t的值；若不能，請說明理由．
    
圖1                       圖2                     

Answer 1

（1）；（2）x=；（3） 

試題分析：（1）由可設，，再結合AC=根據勾股定理即可求得x的值，從而得到AO、CO的長，即可得到點A、點C的坐標，再根據勾股定理求的OB的長，即可得到點B的坐標，最后根據待定系數法即可求得結果；
（2）根據（1）中的函數關系式結合圖形特征可得符合條件的情況有三種，分別根據直線與圓的位置關系分析即可；
（3）分別表示出點E與點F的運動路程，即可表示出點E′、點F′的坐標，再結合（1）中的函數關系式即可作出判斷.
（1）由可設，
∵，AC=
∴，解得
∴，
∴C點坐標為（0，），A點坐標為（-3，0）
∵BC=
∴
∴B點坐標為（6，0）
把（-3，0），（6，0），（0，）代入得；
（2）當⊙P與直線BC第一次相切時，
當⊙P與直線BC第二次相切時，
當⊙P與直線BC第三次相切時，；
（3）.
點評：二次函數的綜合題是初中數學的重點和難點，是中考的熱點，尤其在壓軸題中極為常見，要特別注意.