Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BA=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．

（1)求證：點A與C關于直線BD對稱.

(2)若∠ADC=90°，求證四邊形MPND為正方形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）首先根據角平分線的定義求出∠ABD=∠CBD，然后在△ABD和△CBD中，根據SAS證明兩個三角形全等，進而得到∠ADB=∠CDB，AD=CD，根據等腰三角形的性質可得BD垂直平分AC，進而可得點A與C關于直線BD對稱；

（2）首先證明四邊形PMDN是矩形，再根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得PM=PN，進而可得四邊形MPND為正方形．

證明：(1)連接AC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中

，

∴△ABD≌△CBD(SAS)，

∴∠ADB=∠CDB，DA=DC，

∴BD垂直平分AC，

∴點A與C關于直線BD對稱；

(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD=∠PND=90°，

∵∠ADC=90°，

∴四邊形PMDN是矩形，

∵∠ADB=∠CDB，

∴BD平分∠ADC，

∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴PM=PN，

∴四邊形MPND為正方形