Question

【題目】C點的坐標為（4，4），A為y軸負半軸上一動點，連CA，CB⊥CA交x軸于B．

（1）求OB﹣OA的值；

（2）E在x軸正半軸上，D在y軸負半軸上，∠DCE＝45°，轉動∠DCE，求線段BE、DE和AD之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①當D在OA的延長線上時，DE＝AD+BE；②當D在邊OA上時，DE＝BE﹣AD

【解析】

（1）如圖1，作輔助線，證明△CQA≌△CPB（AAS），可得PB=AQ，根據線段的和與差可得結論；

（2）存在兩種情況：

①當D在OA的延長線上時，如圖2，作輔助線，證明△CAD≌△CBM（ASA）和△DCE≌△MCE（SAS），得DE=EM，AD=BM，相加可得結論．

②當D在邊OA上時，如圖3，同理可得；DE=BE-AD．

解：（1）如圖1，過C作CQ⊥y軸于Q，過C作CP⊥OB于P，

∵C（4，4），

∴CQ＝CP＝OQ＝OP＝4，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠PBC＝90°，

∴∠ACP＝∠PBC，

∵OA∥PC，

∴∠CAQ＝∠ACP＝∠PBC，

∵∠CPB＝∠CQA＝90°，

∴△CQA≌△CPB（AAS），

∴PB＝AQ，

∴OB﹣OA＝OP+PB﹣OA＝OP+AQ﹣OA＝OP+OQ＝8；

（2）分兩種情況：

①當D在OA的延長線上時，DE＝AD+BE，理由是：

如圖2，過C作CM⊥CD，交x軸于M，

∵AC⊥BC，

∴∠ACD＝∠BCM，

由（1）知：△CQA≌△CPB，

∴AC＝BC，∠CAQ＝∠PBC，

∴∠DAC＝∠MBC，

∴△CAD≌△CBM（ASA），

∴BM＝AD，CD＝CM，

∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，

∴∠ACD+∠BCE＝45°＝∠BCM+∠BCE＝∠ECM，

∵CE＝CE，

∴△DCE≌△MCE（SAS），

∴DE＝EM，

∴EM＝BE+BM＝BE+AD＝DE，

即DE＝AD+BE．

②當D在邊OA上時，DE＝BE﹣AD，理由是：

如圖3，過C作CM⊥CD，交x軸于M，

同理得△CAD≌△CBM（ASA），

∴BM＝AD，CD＝CM，

同理得：△DCE≌△MCE（SAS），

∴DE＝EM，

∴EM＝BE﹣BM＝BE﹣AD＝DE，

即DE＝BE﹣AD．