Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，F是BC上一點，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，連接DF．求證：
（1）△ABF≌△DEA；
（2）DF是∠EDC的平分線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AFB，

∵DE⊥AF，

∴∠DEA=∠B=90°，

∵AF=BC，

∴AF=AD，

在△DEA和△ABF中

∵ ，

∴△DEA≌△ABF（AAS）

（2）證明：∵由（1）知△ABF≌△DEA，

∴DE=AB，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，DC=AB，

∴DC=DE．

∵∠C=∠DEF=90°

∴在Rt△DEF和Rt△DCF中

∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL）

∴∠EDF=∠CDF，

∴DF是∠EDC的平分線

【解析】（1）根據矩形性質得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠AFB，求出AF=AD，根據AAS證出即可；（2）有全等推出DE=AB=DC，根據HL證△DEF≌△DCF，根據全等三角形的性質推出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角平分線的性質定理的相關知識，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．