Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學將一個三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點D重合，按順時針方向旋轉三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長線）于點E、F，∠EDF=60°，當CE=AF時，如圖1小芳同學得出的結論是DE=DF．

（1）繼續旋轉三角形紙片，當CE≠AF時，如圖2小芳的結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由
（2）再次旋轉三角形紙片，當點E、F分別在CB、BA的延長線上時，如圖3請直接寫出DE與DF的數量關系；
（3）連EF，若△DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關系式，并指出當x為何值時，y有最小值，最小值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：DF=DE．理由如下：

如答圖1，連接BD．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF與△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（2）

解：DF=DE．理由如下：

如答圖2，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°

∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF與△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE；

（3）

解：

由（2）知，DE=DF，又∵∠EDF=60°，

∴△DEF是等邊三角形，

∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，

∴DH=，

∵BF=CE=x，

∴AF=x﹣2，

∴FH=AF+AH=x﹣2+1=x﹣1，

∴DF==，DG=×，

∴y=S△DEF=×EF×DG=×××=（x﹣1）2+．

∴當x=1時，y最小值=．

【解析】（1）如答圖1，連接BD．根據題干條件首先證明∠ADF=∠BDE，然后證明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（2）如答圖2，連接BD．根據題干條件首先證明∠ADF=∠BDE，然后證明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；
（3）根據（2）中的△ADF≌△BDE得到：△DEF是等邊三角形，AF=BE．所以要表示△DEF的面積需要用含x的代數式把底EF和高DG表示出來.據此列出y關于x的二次函數，通過求二次函數的最值來求y的最小值．