Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣4x﹣5與x軸交于A，B兩點（電B在點A的右側），與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．

（1）求A，B，C三點的坐標及拋物線的對稱軸．

（2）如圖1，點E（m，n）為拋物線上一點，且2＜m＜5，過點E作EF∥x軸，交拋物線的對稱軸于點F，作EH⊥x軸于點H，求四邊形EHDF周長的最大值．

（3）如圖2，點P為拋物線對稱軸上一點，是否存在點P，使以點P，B，C為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5），x=2；（2）；（3）存在，點P的坐標為（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．

【解析】

（1）分別令x=0和y=0代入拋物線的解析式中，可得A、B、C點坐標，根據對稱

性，可得對稱軸；

（2）根據矩形周長公式表示四邊形EHDF周長，并根據二次函數的頂點式可得四邊形EHDF

周長的最大值；

（3）分三種情況：

①當∠CBP=90°時，如圖2，根據△PDB∽△BOC，列比例式得：PD=DB，可得結論；

②當∠BCP=90°時，如圖3，根據△PCG∽△BDG，則=，可得PG的長，從而寫出P

的坐標；

③以AB為直徑畫圓，交對稱軸于P1、P2，如圖4，根據△P1DB∽△CHP1，則，

列方程可得結論．

解：（1）當x=0時，y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

當y=0時，x2﹣4x﹣5=0，

x1=5，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（5，0），

由對稱性得：拋物線的對稱軸是：

（2）如圖1，∵E（m，n），且2＜m＜5，

∴E在第四象限，

∴EF=m﹣2，EH=n=﹣m2+4m+5，

設四邊形EHDF周長為W，

則W=2（EF+EH）=2（m﹣2﹣m2+4m+5）=﹣2m2+10m+6

∵﹣2＜0，

∴當時，四邊形EHDF周長的最大值是；

（3）設P（2，y），

分三種情況：

①當∠CBP=90°時，如圖2，

∴∠PBO=∠OCB，

∵∠PDB=∠COB=90°，

∴△PDB∽△BOC，

∴

∴PD=DB，

∴y=5﹣2=3，

∴P（2，3）；

②當∠BCP=90°時，如圖3，

∵∠OBC=45°，

∴△GDB是等腰直角三角形，

∴BD=DG=3，

∴

∵

∴

∵△PCG∽△BDG，

∴

∴

∴PG=4，

∴P（2，﹣7）；

③以AB為直徑畫圓，交對稱軸于P1、P2，如圖4，則∠CP1B=∠CP2B=90°，

過C作CH⊥對稱軸于H，

∴△P1DB∽△CHP1，

∴,

∴

∴y1=﹣6（舍），y2=1，

∴P1（2，1），

同理得：P2（2，﹣6）；

綜上所述，點P的坐標為（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．