Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于、兩點，其中、是方程的兩根，且．

（）求拋物線的解析式；

（）直線上是否存在點，使為直角三角形．若存在，求所有點坐標；反之說理；

（）點為軸上方的拋物線上的一個動點（點除外），連、，若設的面積為． 點橫坐標為，則在何范圍內時，相應的點有且只有個．

Answer 1

【答案】（）；（）；（3）.

【解析】試題分析：（1）解方程求得拋物線與x軸交點的橫坐標，再用待定系數法求拋物線的解析式即可；（2）用待定系數法求得直線AC的解析式，再分①∠DBC=90°、②∠DBC=90°兩種情況求點D的坐標即可；（3）求得點P在拋物線AB段上時S的最大值，再求得點P在拋物線AC段上時，S的最大值，即可得S的取值范圍.

試題解析：

（），

， ，

設，

把代入得， ，

解得．

∴

．

（）設直線AC的解析式為y=kx+b，將A、C兩點坐標代入得，

，

解得 ,k=,b=4 ,

∴．

①∠BDC=90°時，

．

， ，

∴．

②∠DBC=90°時，x=-2，y=-×（-2）+4=5，則D點坐標為（-2，5）；

∴， ．

（3）點P在拋物線AC段上時S最大值為16，點P在拋物線AB段上時S最大值為20，

則S的取值范圍為16＜S＜20．