Question

已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長是關于x的方程x²-2mx+（m-

1

2

）²+

7

4

=0的兩個根．
（1）當m=2和m＞2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形并說明理由．
（2）若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P、Q，PQ=1，且AB＜CD，求AB、CD的長；
（3）在（2）的條件下，AD=BC=2，求一個一元二次方程，使它的兩個根分別是tan∠BDC和tan∠BCD．

Answer 1

分析：（1）根據當m=2和m＞2時，方程根的情況來進一步判斷AB和CD的數量關系，結合其位置關系，判斷該四邊形的形狀；
（2）根據梯形的對角線的中點所連接的線段等于上下底差的一半，結合根與系數的關系得到關于m的方程，從而求出方程的兩個根；
（3）根據梯形的邊之間的關系，求得這兩個角的度數，再根據特殊角的銳角三角函數值寫出這個一元二次方程．

解答：解：（1）當m=2時，x²-4x+4=0．
∵△=0，方程有兩個相等的實數根．
∴AB=CD，此時AB∥CD，則該四邊形是平行四邊形；
當m＞2時，△=m-2＞0，
又∵AB+CD=2m＞0，
AB•CD=（m-

1

2

）²+

7

4

＞0，
∴AB≠CD．
該四邊形是梯形．

（2）根據三角形的中位線定理可以證明：連接梯形的兩條對角線的中點的線段等于梯形的上下底的差的一半．
則根據PQ=1，得CD-AB=2．
根據（1）中的AB+CD和AB•CD的式子得（2m）²-4（m²-m+2）=4，
∴m=3．
當m=3時，則有x²-6x+8=0，
∴x=2或x=4，
即AB=2，CD=4．

（3）根據該梯形是等腰梯形，平移一腰，則得到等邊△BEC．
∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．
∵tan∠BDC+tan∠BCD=

4

3

3

，
tan∠BDC•tan∠BCD=1．
∴所求作的方程是y²-

4

3

3

y+1=0．

點評：注意平行四邊形的梯形的概念的區別；能夠證明梯形的對角線中點所連線段等于上下底差的一半；能夠根據根與系數的關系由已知方程寫出兩根之和，兩根之積．反過來能夠根據兩根之和，兩根之積寫出一個方程．