Question

已知平面直角坐標系xOy中，點A在拋物線y=

2 3

3

x²+

3

3

上，過A作AB⊥x軸于點B，AD⊥y軸于點D，將矩形ABOD沿對角線BD折疊后得A的對應點為A′，重疊部分（陰影）為△BDC．
（1）求證：△BDC是等腰三角形；
（2）如果A點的坐標是（1，m），求△BDC的面積；
（3）在（2）的條件下，求直線BC的解析式，并判斷點A′是否落在已知的拋物線上？請說明理由．

Answer 1

（1）證明：由折疊的性質之：∠ABD=∠DBC，
∵四邊形ABOD是矩形
∴AB∥DO
∴∠ABD=∠CDB
∴∠CBD=∠BDC
∴△BDC是等腰三角形．

（2）∵點A（1，m）在y=

2 3

3

x²+

3

3

上，
∴m=

2 3

3

+

3

3

=

3

．
在直角三角形ABD中，AB=

3

，DA=1，
∴∠ABD=30°，
∴∠CBO=30°，CO=OB•tan∠CBO=

3

3

，
S_△BCD=S_△BDO-S_△BCO=

1

2

OD•OB-

1

2

OB•OC=

3

2

-

1

2

×

3

3

=

3

3

．

（3）設直線BC解析式為：y=ax+b，
∵C（0，

3

3

），B（1，0）；
∴

b= 3 3 a+b=0

，
解得

a=- 3 3 b= 3 3

，
y=-

3 x

3

+

3

3

，
設A′的坐標為（x，y），過A′作A′M⊥x軸于M，
A′M=

1

2

BA′=

1

2

AB=

3

2

，
∴y=

3

2

，
代入y=-

3 x

3

+

3

3

，
得x=-

1

2

，
點A′的坐標是（-

1

2

，

3

2

），
將x=-

1

2

代入y=

2 3

3

x²+

3

3

中
得：y=

3

2

，
∴A′落在此拋物線上．