Question

【題目】（1）如圖①，四邊形 ABCD 是正方形，點 G 是 BC 上的任意一點，BF AG 于點 F，DE AG于點 E，探究 BF，DE，EF 之間的數量關系．第一學習小組合作探究后，得到DE–BF= EF，請證明這個結論；

（2）若（1）中的點 G 在 CB 的延長線上，其余條件不變，請在圖②中畫出圖形，并直接寫出此時 BF，DE，EF 之間的數量關系；

（3）如圖 ③ ，四邊形 ABCD 內接于 ⊙O，AB=AD，E ，F 是AC 上的兩點，且滿足∠AED=∠BFA=∠BCD．試判斷 AC，DE，BF 之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=BF+DE；（3）AC=BF+DE，證明見解析

【解析】（1）∵正方形ABCD，BF⊥AG，DE⊥AG

∴ AB=AD，

∠BAF+∠DAE=∠BAF+∠ABF=∠AFB=∠DEA=900

∴∠DAE=∠ABF

∴△ADE≌△BAF

∴BF=AE，AF=DE

∴ EF= AF –AE = DE– BF

（2）作圖如圖所示

EF=BF+DE

（3）∵ 四邊形ABCD內接于圓

∴ ∠BCD+∠BAD=1800

∵ ∠AED=∠BCD，∠AED+∠DEC=1800

∴∠BAD=∠DEC

∵ ∠BAD=∠1+∠2，∠DEC=∠1+∠3

∴∠2=∠3

∵∠AED=∠BFA，AB=AD

∴ △ADE≌△BAF

∴ AE=BF，DE=AF

連接BD

∵∠AED=∠BCD，∠1=∠DBC

∴∠3=∠4

∴∠ADB=∠EDC

∵AB=AD

∴∠ADB=∠ABD=∠ACD

∴ ∠EDC=∠ACD

∴ DE=CE=AF

∴ AC=AE+CE=BF+DE