Question

【題目】已知：如圖，直線y=﹣x+3與x軸、y軸交于點A，點B，點O關于直線AB的對稱點為點O′，且點O′恰好在反比例函數y=的圖象上．

（1）求點A與B的坐標；

（2）求k的值；

（3）若y軸正半軸有點P，過點P作x軸的平行線，且與反比例函數y=的圖象交于點Q，設A、P、Q、O′四個點所圍成的四邊形的面積為S．若S=S△OAB時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（3，0），B（0，3）；（2）k的值為9；（3）P（0，2）或（0，6）

【解析】

（1）設A（a，0）；B（0，b）代入即可求出a、b的值.進而求出A、B坐標.（2）如圖① ，根據點O與O′關于直線AB對稱，可知四邊形OAO′B為正方形即可得答案.（3）設P（0，m），分兩種情況：①當點P在點B的上方時，即：m＞3，延長AO′于PQ相交于點M，設P（0，m），由面積關系可求；②當點P在點B的下方時，即：0＜m＜3，方法同上．

（1）設A（a，0）；B（0，b），代入y=﹣x+3得：a=3，b=3，

所以A（3，0）；B（0，3）.

（2）如圖①

圖①

∵點O與O′關于直線AB對稱，

∴由題意可得四邊形OAO′B為正方形，

∴O′（3，3）

則 k=3×3=9

即：k的值為9

（3）設P（0，m），顯然，點P與點B不重合

①當點P在點B的上方時，即：m＞3，

延長AO′于PQ相交于點M，如圖②所示：

則：Q（，m），M（3，m）

∴PM=3，AM=m，MO′=m﹣3，QM=3﹣，

∴S=S△PMA﹣S△QMO′==×=

∴﹣（3﹣m）（m+3）=，

解之得：m=6

②當點P在點B的下方時，即：0＜m＜3，如圖③所示：

顯然，PQ⊥AO′，

∴S=PQAO′=×3×=，

∴m=2

∴P（0，2）或（0，6）.