Question

通過觀察，發現方程不難求得方程：x+

2

x

=3+

2

3

的解是x1=3，x2=

2

3

；x+

2

x

=4+

2

4

的解是x1=4，x2=

2

4

；x+

2

x

=5+

2

5

的解是x1=5，x2=

2

5

；…
（1）觀察上述方程及其解，可猜想關于x的方程x+

2

x

=a+

2

a

的解是

x₁=a，x₂=

2

a

；
（2）試驗證：當x1=a-1，x2=

2

a-1

都是方程x+

2

x

=a+

2

a-1

-1的解；
（3）利用你猜想的結論，解關于x的方程

x2-x+2

x-1

=a+

2

a-1

．

Answer 1

分析：（1）根據給的具體方程的解得特點易得到方程x+

2

x

=a+

2

a

的解是x₁=a，x₂=

2

a

；
（2）把x=a和x=

2

a-1

分別代入方程左邊，易得到左右兩邊相等，根據分式方程的解即可得到x1=a-1，x2=

2

a-1

都是方程x+

2

x

=a+

2

a-1

-1的解；
（3）把方程

x2-x+2

x-1

=a+

2

a-1

變形得到

x2-x

x-1

+

2

x-1

=a+

2

a-1

，x+

2

x-1

=a+

2

a-1

，得到具有（1）中方程的特點的形式x-1+

2

x-1

=a-1+

2

a-1

，于是有x-1=a-1或x-1=

2

a-1

，分別解即可得到原方程的解．

解答：解：（1）x₁=a，x₂=

2

a

；

（2）把x=a-1代入方程，左邊=a-1+

2

a-1

，右邊=a-1+

2

a-1

，左邊=右邊，所以x=a-1是方程x+

2

x

=a+

2

a-1

-1的解；
把x=

2

a-1

代入方程，左邊=

2

a-1

+a-1，右邊=a-1+

2

a-1

，左邊=右邊，所以x=

2

a-1

是方程x+

2

x

=a+

2

a-1

-1的解；

（3）方程

x2-x+2

x-1

=a+

2

a-1

變形得，

x2-x

x-1

+

2

x-1

=a+

2

a-1

，
x+

2

x-1

=a+

2

a-1

，
∴x-1+

2

x-1

=a-1+

2

a-1

，
∴x-1=a-1或x-1=

2

a-1

，
∴x₁=a，x₂=

a+1

a-1

．

點評：本題考查了分式方程的解：使分式方程左右兩邊成立的未知數的值叫分式方程的解．也考查了從特殊到一般的探究規律的方法以及代數式的變形能力．