Question

【題目】如圖1，在數軸上A點表示數a，B點表示數b，AB表示A點和B點之間的距離，且a、b滿足|a+4|+|b+3a|＝0．

（1）求A、B兩點之間的距離；

（2）若在數軸上存在一點C，且AC+BC＝19，求C點表示的數；

（3）如圖2，若在原點O處放一擋板，一小球甲從點A處以2個單位/秒的速度向左運動；兩秒后另一個小球乙從點B處以3個單位/秒的速度也向左運動，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看做一點）乙球以4個單位/秒的速度向相反方向運動，設甲球運動的時間為t（秒）．

①分別表示甲、乙兩小球到原點的距離（用含t的式子表示）；

②求甲、乙兩小球到原點的距離相等時，甲球所在位置對應的數；

Answer 1

【答案】（1）A、B兩點之間的距離是16；（2）點C不可能線段AB上，則C點可能在線段BA的延長線上或線段AB的延長線上，當AC+BC＝19，C表示的數為或；（3）①乙球到原點的距離為：12﹣3（t﹣2）；甲球與原點的距離為：2t+4；②甲、乙兩小球到原點的距離相等時，甲球所在位置對應的數為﹣或﹣48．

【解析】

（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，再根據兩點間的距離公式即可求得A、B兩點之間的距離；

（2）分C點在線段BA延長線上和線段AB延長線上兩種情況討論即可求解；

（3）①甲球到原點的距離＝甲球運動的路程+OA的長，乙球到原點的距離分兩種情況：（Ⅰ）乙球從點B處開始向左運動，一直到原點O，此時OB的長度﹣乙球運動的路程即為乙球到原點的距離；（Ⅱ）乙球從原點O處開始向右運動，此時乙球運動的路程﹣OB的長度即為乙球到原點的距離；

②按①分兩種情況根據甲、乙兩小球到原點的距離相等列出關于t的方程，解方程即可．

解：（1）∵|a+4|+|b+3b|＝0，

∴a+4＝0，b+3a＝0，

∴a＝﹣4，b＝﹣3a＝12，

∴AB＝|b﹣a|＝|12﹣（﹣4）|＝16

∴A、B兩點之間的距離是16．

（2）設數軸上點C表示的數為c

∴AC＝|c﹣a|＝|c+4|，BC＝|c﹣b|＝|c﹣12|

∵AC+BC＝19

∴|c+4|+|c﹣12|＝19

∵AB＝16＜19

∴點C不可能線段AB上，則C點可能在線段BA的延長線上或線段AB的延長線上．

①當C點在線段BA延長線上時，則有c≤﹣4，

∴|c+4|＝﹣（c+4），|c﹣12|＝﹣（c﹣12）

∴﹣（c+4）﹣（c﹣12）＝19

解得：c＝

②當C點在線段AB的延長線上時，則有c＞12，

∴|c+4|＝c+4，|c﹣12|＝c﹣12

∴c+4+c﹣12＝19

解得：c＝

綜上所說，當AC+BC＝19，C表示的數為或．

（3）①∵甲球運動的路程為：2t＝2t，OA＝4

∴甲球與原點的距離為：2t+4

乙球到原點的距離分兩種情況：

（Ⅰ）當0＜t≤4時，乙球從點B處開始向左運動，一直到原點O，

∵OB＝12，乙球運動的路程為：3t＝3t，

∴乙球到原點的距離為：12﹣3（t﹣2）；

（Ⅱ）當t＞4時，乙球從原點O處開始一直向右運動，

∴乙球到原點的距離為：3（t﹣2）﹣12．

②當0＜t≤4時，得2t+4＝12﹣3（t﹣2），

解得：t＝

∴﹣4﹣2t＝

當t＞4時，得2t+4＝3（t﹣2）﹣12，

解得：t＝22

∴﹣4﹣2t＝﹣48

綜上所述，甲、乙兩小球到原點的距離相等時，甲球所在位置對應的數為﹣或﹣48．