Question

【題目】如圖，的對角線與相交于點E，點G為的中點，連接，的延長線交的延長線于點F，連接．

（1）求證：；

（2）若，，判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）矩形，證明見解析

【解析】

（1）根據ASA定理證得△AGF≌△DGC，從而得到GF=GC，求得四邊形ACDF是平行四邊形，然后根據平行四邊形的性質求證；

（2）利用平行四邊形的判定與性質結合全等三角形的性質得出△AFG是等邊三角形，從而得到AD=CF，再利用矩形的判定方法得出答案．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠FAG=∠CDG，

∵點G是AD的中點，

∴GA=GD，

在△AGF和△DGC中，

∴△AGF≌△DGC（ASA）；

∴GF=GC,AF=DC

∴四邊形ACDF是平行四邊形

∴AC=DF

又∵在平行四邊形ABCD中，

∴；

（2）解：四邊形ACDF是矩形．

理由：由（1）可知四邊形是ACDF平行四邊形，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，

∴AB=AF，

又∵AG=AB，

∴AG=AF，

∴AB=AG=AF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD∥BC，∠BCD=120°

∴∠BAD=120°，∠FAG=60°，

∴△AFG是等邊三角形，

∴AG=GF，

∵△AGF≌△DGC，

∴FG=CG，

∵AG=GD，

∴AD=CF，

∴四邊形ACDF是矩形．