Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，點P、Q分別從B、C兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動，速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x（s）．

（1）求x為何值時，PQ⊥AC；

（2）設△PQD的面積為y（cm2），當0＜x＜2時，求y與x的函數關系式；

（3）當0＜x＜2時，求證：AD平分△PQD的面積；

（4）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系，請寫出相應位置關系的x的取值范圍（不要求寫出過程）．

Answer 1

【答案】（1）x=；（2）y=﹣x2+x；（3）證明見解析；（4）當0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．

【解析】

（1）若使PQ⊥AC，則根據路程=速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據30度的直角三角形的性質列方程求解；

（2）首先畫出符合題意的圖形，再根據路程=速度×時間表示出BP，CQ的長，根據等邊三角形的三線合一求得PD的長，根據30度的直角三角形的性質求得PD邊上的高，再根據面積公式進行求解；

（3）根據三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點．根據題意可以證明BP=CN，則PD=DN，再根據平行線等分線段定理即可證明；

（4）根據（1）中求得的值即可分情況進行討論．

（1）當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC，

當Q在AC上時，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4﹣x；

∵AB=BC=CA=4，

∴∠C=60°；

若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，

∴PC=2CQ，

∴4﹣x=2×2x，

∴x=；

（2）y=﹣x2+x，

如圖所示，

當0＜x＜2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QN⊥BC于N；

∵∠C=60°，QC=2x，

∴QN=QC×sin60°=x；

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=BC=2，

∴DP=2﹣x，

∴y=PDQN=（2﹣x）x=﹣x2+x；

（3）當0＜x＜2時，

在Rt△QNC中，QC=2x，∠C=60°；

∴NC=x，

∴BP=NC，

∵BD=CD，

∴DP=DN；

∵AD⊥BC，QN⊥BC，

∴AD∥QN，

∴OP=OQ，

∴S△PDO=S△DQO，

∴AD平分△PQD的面積；

（4）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，

由（1）可知，當x=時，以PQ為直徑的圓與AC相切；

當點Q在AB上時，

8﹣2x=，

解得x=，

故當x=或時，以PQ為直徑的圓與AC相切，

當0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．