Question

已知平行四邊形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．點F為線段BC上一點（端點B，C除外），連接AF，AC，連接DF，并延長DF交AB的延長線于點E，連接CE．
（1）當F為BC的中點時，求證：△EFC與△ABF的面積相等；
（2）當F為BC上任意一點時，△EFC與△ABF的面積還相等嗎？說明理由．

Answer 1

分析：（1）S_△EFC=

1

2

FC•高h，S_△ABF=

1

2

BF•高h′，而△EFC與△ABF的面積相等且當F為BC的中點，所以必須證明h=h′，而h=ABsinα，
h′=EBsinα，所以證明方向轉化為求證EB=AB，而EB=CD，可利用證△EBF≌△DCF來解答，因此便可求證所求；
（2）由于△ABC和△CDE為等底等高三角形，所以S_△ABC=S_△CDE，又因為△ACF和△CDF同底等高，所以S_△AFC=S_△CDF．
∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，即S_△ABF=S_△EFC．

解答：（1）證明：∵點F為BC的中點，
∴BF=CF=

1

2

BC=

a

2

，
又∵BF∥AD，
∴BE=AB=b，
∴A，E兩點到BC的距離相等，都為bsinα，（3分）
則S_△ABF=

1

2

•

a

2

•bsinα=

1

4

absinα，
S_△EFC=

1

2

•

a

2

•bsinα=

1

4

absinα，
∴S_△ABF=S_△EFC；（5分）

（2）解：
法一：當F為BC上任意一點時，
設BF=x，則FC=a-x，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴

BF

AD

=

BE

BE+AB

，∴

x

a

=

BE

BE+b

，
∴BE=

bx

a-x

，（7分）
在△EFC中，FC邊上的高h₁=BEsinα，
∴h1=

bxsinα

a-x

，
∴S△EFC=

1

2

FC•h1=

1

2

(a-x)•

bxsinα

a-x

=

1

2

bxsinα，（9分）
又在△ABF中，BF邊上的高h₂=bsinα，
∴S_△ABF=

1

2

bxsinα，
∴S_△ABF=S_△EFC；（11分）
法二：∵ABCD為平行四邊形，
∴S_△ABC=S_△CDE=

1

2

absinα，
又∵S_△AFC=S_△CDF，
∴S_△ABC-S_△AFC=S_△CDE-S_△CDF，
即S_△ABF=S_△EFC．（11分）

點評：此題考查了平行四邊形的基本性質和三角形全等的判定，難易程度適中．