Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝6，E為AB的中點，將△ADE沿DE翻折得到△FDE，延長EF交BC于G，FH⊥BC，垂足為H，連接BF、DG.以下結論：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正確的個數是( )

A. 2B. 3C. 4D. 5

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用正方形的性質和折疊的性質可得∠AED＝∠FED，AD＝FD，AE＝EF，∠A＝∠DFE，即可判定①；證明Rt△DFG≌Rt△DCG，即可判定②；證明△FHB∽△EAD，即可判定③；設FG＝CG＝x，則BG＝6﹣x，EG＝3+x，再利用勾股定理即可判定④；設FH＝a，則HG＝4﹣2a，再利用勾股定理即可判定⑤

∵正方形ABCD中，AB＝6，E為AB的中點

∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，AE＝BE＝3，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°

∵△ADE沿DE翻折得到△FDE

∴∠AED＝∠FED，AD＝FD＝6，AE＝EF＝3，∠A＝∠DFE＝90°

∴BE＝EF＝3，∠DFG＝∠C＝90°

∴∠EBF＝∠EFB

∵∠AED+∠FED＝∠EBF+∠EFB

∴∠DEF＝∠EFB

∴BF∥ED

故結論①正確；

∵AD＝DF＝DC＝6，∠DFG＝∠C＝90°，DG＝DG

∴Rt△DFG≌Rt△DCG

∴結論②正確；

∵FH⊥BC，∠ABC＝90°

∴AB∥FH，∠FHB＝∠A＝90°

∵∠EBF＝∠BFH＝∠AED

∴△FHB∽△EAD

∴結論③正確；

∵Rt△DFG≌Rt△DCG

∴FG＝CG

設FG＝CG＝x，則BG＝6﹣x，EG＝3+x

在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+(6﹣x)2＝(3+x)2

解得：x＝2

∴BG＝4

∴tan∠GEB＝

故結論④正確；

∵△FHB∽△EAD，且

∴BH＝2FH

設FH＝a，則HG＝4﹣2a

在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+(4﹣2a)2＝22

解得：a＝2(舍去)或a＝

∴S△BFG＝×4×＝2.4

故結論⑤錯誤；

故選：C.