Question

【題目】如圖1，拋物線y= －x2+bx+c與x軸負半軸交于A點，與x軸正半軸交于B點，與y軸正半軸交于C點，CO＝BO，AB=14．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2, 點M、N在第一象限內拋物線上，M在N點下方，連CM、CN，∠OCN+∠OCM＝180°， 設M點橫坐標為m，N點橫坐標為n，求m與n的函數關系式(n是自變量)；

（3）如圖3, 在(2)條件下，連AN交CO于E，過M作MF⊥AB于F，連BM、EF，若∠AFE＝2∠FMB=2β， 求N點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m與n的函數關系式為；（3）的坐標為.

【解析】

（1）根據題目給出條件用一個未知數舍出點A，B，C的坐標，代入解析式求解即可；

（2）根據題目給出特殊條件∠OCN+∠OCM＝180°，得出直線與直線關于直線對稱，設點代入即可；

（3）根據二倍角關系，在大角中構造相似三角形，大膽利用一個未知數求出線段長度，利用三角形的角平分線性質求解.

解：（1）設，則；

將代入y= －x2+bx+c得，

；

解得：；

∴拋物線的解析式：；

（2）∵∠OCN+∠OCM＝180°；

可得直線與直線關于對稱；

設；

又；

可得；

設；

作點N關于的對稱點；

則；

又在上；

；

化簡得；

∴m與n的函數關系式為；

（3）；

；

在y正半軸上取一點H使得；

則有；

即；

解得；

設直線AN的解析式為：

由可得；

；

又；

；

又；

；

在中，；

由勾股定理可得；

；

；

又∵∠AFE＝2∠FMB=2β；

平分；

則有；

即；

解得(舍),(舍),(舍),；

；

的坐標為.