Question

【題目】如圖，線段AB 是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點M是弧CBD 上任意一點，AH=2，CH=4．

（1）求⊙O 的半徑r 的長度；

（2）求sin∠CMD；

（3）直線BM交直線CD于點E，直線MH交⊙O 于點 N，連接BN交CE于點 F，求HEHF的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）16

【解析】（1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解決問題；

（2）只要證明∠CMD=△COA，求出sin∠COA即可；

（3）由△EHM∽△NHF，推出，推出HEHF=HMHN，又HMHN=AHHB，推出HEHF=AHHB，由此即可解決問題．

（1）連接OC，

在Rt△COH中，

∵CH=4,OH=r-2,OC=r.

∴ （r-2）2+42=r2.

∴ r=5；

（2）∵弦CD與直徑AB垂直，

∴，

∴ ∠AOC=∠COD，

∴∠CMD=∠COD，

∴ ∠CMD=∠AOC，

∴sin∠CMD=sin∠AOC，

在Rt△COH中，

∴sin∠AOC=，

∴sin∠CMD=；

（3）連接AM，

∴∠AMB=90°，

在Rt△AMB中，

∴∠MAB+∠ABM=90°，

在Rt△EHB中，

∴∠E+∠ABM=90°，

∴∠MAB=∠E，

∵ ，

∴∠MNB=∠MAB=∠E，

∵∠EHM=∠NHF，

∴△EHM∽△NHF，

∴，

∴HEHF=HMHN，

∵AB與MN交于點H，

∴HMHN=HAHB=HA（2r-HA）=2×（10-2）=16，

∴HEHF=16.