Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，等邊△ABC的邊BC在x軸上，A（0，3），B（，0），點M（，0）為x軸上的一個動點，連接AM，將AM繞點A逆時針旋轉60°得到AN．

(1)當M點在B點的左方時，連接CN，求證：△BAM≌△CAN；

(2)如圖2，當M點在邊BC上時，過點N作ND//AC交x軸于點D，連接MN，若，試求D點的坐標；

(3)如圖3，是否存在點M，使得點N恰好在拋物線上，如果存在，請求出m的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)D(，0)；(3)存在，或

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質、旋轉的性質、角的和差可得、、，再根據全等三角形的判定即可得證結論；

（2）過作軸于點，過作交延長線于點，可得出是等邊三角形，再結合已知條件根據等邊三角形的性質、含角的直角三角形的性質等可列出關于的方程，解得即可求得答案；

（3）由（2）可知點的坐標為，將點的坐標代入拋物線解析式解方程即可得解．

解：（1）證明：∵是等邊三角形

∴，

∵將繞點逆時針旋轉得到

∴ ，

∴

∴

∴在和中

∴．

（2）過作軸于點，過作交延長線于點，如圖：

∵由（1）可知

∴

∵

∴

∵

∴

∴是等邊三角形

∴

∵是等邊三角形，，，

∴，，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴．

（3）由（2）可知點的坐標為

∵若點恰好在拋物線上

∴

∴或

∴存在點，使得點恰好在拋物線上，此時或．