Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，⊙O的切線DE交AC于點E．

（1）求證：E是AC中點；

（2）若AB=10，BC=6，連接CD，OE，交點為F，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OF=1.8．

【解析】

（1）連接CD，根據切線的性質，就可以證出∠A=∠ADE，從而證明AE=CE；

（2）求出OD，根據直角三角形斜邊上中線性質求出DE，根據勾股定理求出OE，根據三角形面積公式求DF，根據勾股定理求出OF即可．

（1）連接CD，

∵∠ACB=90°，BC為⊙O直徑，

∴ED為⊙O切線，且∠ADC=90°；

∵ED切⊙O于點D，

∴EC=ED，

∴∠ECD=∠EDC；

∵∠A+∠ECD=∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠A=∠ADE，

∴AE=ED，

∴AE=CE，

即E為AC的中點；

∴BE=CE；

（2）連接OD，

∵∠ACB=90°，

∴AC為⊙O的切線，

∵DE是⊙O的切線，

∴EO平分∠CED，

∴OE⊥CD，F為CD的中點，

∵點E、O分別為AC、BC的中點，

∴OE=AB==5，

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，由勾股定理得：AC=8，

∵在Rt△ADC中，E為AC的中點，

∴DE=AC==4，

在Rt△EDO中，OD=BC==3，DE=4，由勾股定理得：OE=5，

由三角形的面積公式得：S△EDO=，

即4×3=5×DF，

解得：DF=2.4，

在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF===1.8．