Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點E，交的延長線于F，以為鄰邊作平行四邊形。

（1）證明平行四邊形是菱形；

（2）若，連結，①求證：；②求的度數；

（3）若，，，M是的中點，求的長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②∠BDG=60°；（3）

【解析】

（1）平行四邊形的性質可得AD∥BC，AB∥CD，再根據平行線的性質和角平分線的性質證明∠CEF=∠CFE，根據等角對等邊可得CE=CF，再根據四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱形；
（2）①根據已知和菱形的性質得出∠BEG=120°=∠DCG，再判斷出AB=BE，進而得出BE=CD，即可判斷出△BEG≌△DCG（SAS）

②先得出∠CGE=60°再由①得出△BDG是等邊三角形，即可得出結論；
（3）首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明△BME≌△DMC可DM=BM,∠DMC=∠BME，再根據∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形,等腰直角三角形的性質即可得到結論．

解：（1）證明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四邊形ECFG是平行四邊形，
∴四邊形ECFG為菱形；
（2）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四邊形CEGF是菱形，

∴CE=GE，∠BCG=∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
②∵△BEG≌△DCG

∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等邊三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等邊三角形，
∴∠BDG=60°；
（3）連接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形，
又由（1）可知四邊形ECFG為菱形，
∠ECF=90°，
∴四邊形ECFG為正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M為EF中點，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，

∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD，
∠DMC=∠BME．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB=8，AD=14，
∴BD=2，