Question

（2013•北塘區一模）已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C，D兩點），點P從點C出發，以2cm/s的速度，沿CD作勻速運動．連接PM，過點P作PM的垂線與邊DA相交于點E（如圖），設點P運動的時間為t（s）
（1）DE的長為

-

8

3

t²+

16

3

t

（用含t的代數式表示）；
（2）若點P從點C出發的同時，直線BD沿著射線AD的方向以3cm/s的速度從D點出發，以CP長為直徑作圓⊙O，當點P到達點D時，直線BD也停止運動．當⊙O與直線BD相切時，求DE的值．

Answer 1

分析：（1）證△DEP∽△CPM，推出

CP

DE

=

CM

DP

，代入求出即可；
（2）分為兩種情況，畫出圖形，①求出OF=OC=

1

2

CF=t，根據tan∠D′FD=tan∠CDB=tan∠OFG，求出DF=4t，FG=

4

3

t，由勾股定理得出D′F=5t，FO=

5

3

根據DC=DF+FO+OC，代入求出t即可；②證△OGN∽△D′DN，求出DN=4t，由勾股定理求出D′N=5t，代入相似得出的比例式

t

3t

=

ON

5t

，求出ON=

5

3

t，代入DC=DN-CN=DN-（ON-CN）求出t即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∵PM⊥PE，
∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，∠CPM+∠PMC=90°，
∴∠CMP=∠DPE，
∴△DEP∽△CPM，
∴

CP

DE

=

CM

DP

，
∴

2t

DE

=

3 2

4-2t

，
∴DE=-

8

3

t²+

16

3

t，
故答案為：-

8

3

t²+

16

3

t．

（2）DD′=3t，
①如圖1，
∵DD′=3t，∠D′FD=∠CDB=∠OFG，DC=4，BC=3，OF=OC=

1

2

CF=t，
∴tan∠D′FD=tan∠CDB=tan∠OFG，
∴

D′D

DF

=

BC

DC

=

OG

FG

=

3

4

，
∴DF=4t，FG=

4

3

t，
∴由勾股定理得：D′F=5t，FO=

5

3

∵DC=DF+FO+OC，
∴4=4t+

5

3

t+t，
∴t=

3

5

，
即DE=-

8

3

t²+

16

3

t=

56

25

，
②如圖2，
∵∠D′DN=∠OGN=90°，∠GNO=∠D′ND，
∴△OGN∽△D′DN，
∴

OG

DD′

=

ON

D′N

，
∵OG=

1

2

CP=t，
∵tan∠D′ND=tan∠CDB，
∴

D′D

DN

=

BC

CD

=

3

4

，
∴DN=4t，
由勾股定理得：D′N=5t，
∴

t

3t

=

ON

5t

，
∴ON=

5

3

t，
∵DC=DN-CN=DN-（ON-CN），
∴4=4t-（

5

3

t-t），
t=

6

5

，
∴DE=-

8

3

t²+

16

3

t=

64

25

，
即DE的值是

56

25

或

64

25

．

點評：本題考查了矩形的性質，相似三角形的性質和判定，切線的性質，解直角三角形的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，有一定的難度．