Question

【題目】如圖，已知點A的坐標是（﹣1，0），點B的坐標是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，連接AC，BC，過A，B，C三點作拋物線．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，連接BD，求直線BD的解析式；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

第三問改成，在（2）的條件下，點P是直線BC下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△PCD的面積是△BCD面積的三分之一，求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）直線BD的解析式為y=x﹣9；（3）符合條件的點P有兩個：P1（，），P2（14，25）．

【解析】分析：（1）已知了A、B兩點的坐標即可得出OA、OB的長，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的長，即可得出C點的坐標．然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）本題的關鍵是得出D點的坐標，CD平分∠BCE，如果連接O′D，那么根據圓周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐標為（4，-5）．根據B、D兩點的坐標即可用待定系數法求出直線BD的解析式；

（3）本題要分兩種情況進行討論：

①過D作DP∥BC，交D點右側的拋物線于P，此時∠PDB=∠CBD，可先用待定系數法求出直線BC的解析式，然后根據BC與DP平行，那么直線DP的斜率與直線BC的斜率相同，因此可根據D的坐標求出DP的解析式，然后聯立直線DP的解析式和拋物線的解析式即可求出交點坐標，然后將不合題意的舍去即可得出符合條件的P點．

②同①的思路類似，先作與∠CBD相等的角：在O′B上取一點N，使BN=BM．可通過證△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一樣，先求直線DN的解析式，進而可求出其與拋物線的交點即P點的坐標．

綜上所述可求出符合條件的P點的值．

詳解：（1）∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴．

又∵A（﹣1，0），B（9，0），

∴，

解得OC=3（負值舍去）．

∴C（0，﹣3），

故設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣9），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a=，

∴二次函數的解析式為y=（x+1）（x﹣9），

即y=x2﹣x﹣3．

（2）∵AB為O′的直徑，且A（﹣1，0），B（9，0），

∴OO′=4，O′（4，0），

∵點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，

∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，

連接O′D交BC于點M，

則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．

∴O′D⊥x軸

∴D（4，﹣5）．

∴設直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0）

∴

解得

∴直線BD的解析式為y=x﹣9．

（3）假設在拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CBD，

設射線DP交⊙O′于點Q，則．

分兩種情況（如圖所示）：

①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

∴把點C、D繞點O′逆時針旋轉90°，使點D與點B重合，則點C與點Q1重合，

因此，點Q1（7，﹣4）符合，

∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），

∴用待定系數法可求出直線DQ1解析式為y=x﹣．

解方程組

得或

∴點P1坐標為（，），坐標為（，）不符合題意，舍去．

②∵Q1（7，﹣4），

∴點Q1關于x軸對稱的點的坐標為Q2（7，4）也符合．

∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．

∴用待定系數法可求出直線DQ2解析式為y=3x﹣17．

解方程組，得，

∴點P2坐標為（14，25），坐標為（3，﹣8）不符合題意，舍去．

∴符合條件的點P有兩個：P1（，），P2（14，25）．