Question

【題目】已知：拋物線y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1經過坐標原點，且當x＜0時，y隨x的增大而減小．

（1）求拋物線的解析式；

（2）結合圖象寫出，0＜x＜4時，直接寫出y的取值范圍 ；

（3）設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于點B，DC⊥x軸于點C．當BC=1時，求出矩形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】（1）二次函數解析式為y=x2﹣3x．（2）故答案為﹣≤y＜4．（3）當BC=1時，矩形的周長為6．

【解析】

試題分析：（1）把（0，0）代入拋物線解析式求出m的值，再根據增減性確定m的值即可．

（2）畫出函數圖象，求出函數最小值以及x=0或4是的y的值，由此即可判斷．

（3）由BC=1，B、C關于對稱軸對稱，推出B（，1，0），C（（2，0），由AB⊥x軸，DC⊥x軸，推出A（1，﹣2），D（2，﹣2），求出AB，即可解決問題．

試題解析：（1）∵y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1經過坐標原點，

∴0=0+0+m2﹣1，即m2﹣1=0，解得m=±1．

又∵當x＜0時，y隨x的增大而減小，，∴m=﹣1，

∴二次函數解析式為y=x2﹣3x．

（2）如圖1中，

x=0時，y=0，∵y=（x﹣）2﹣，∴x=時，y最小值為﹣，

x=4時，y=4，∴0＜x＜4時，﹣≤y＜4．

故答案為﹣≤y＜4．

（3）如圖2中，

∵BC=1，B、C關于對稱軸對稱，∴B（，1，0），C（（2，0），∵AB⊥x軸，DC⊥x軸，

∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），∴AB=DC=2，BC=AD=1，

∴四邊形ABCD的周長為6，

當BC=1時，矩形的周長為6．