Question

【題目】探究：如圖①，直線l1∥l2∥l3，點C在l2上，以點C為直角頂點作∠ACB＝90°，角的兩邊分別交l1與l3于點A、B，連結AB，過點C作CD⊥l1于點D，延長DC交l3于點E．

（1）求證：△ACD∽△CBE．

（2）應用：如圖②，在圖①的基礎上，設AB與l2的交點為F，若AC＝BC，l1與l2之間的距離為2，l2與l3之間的距離為1，則AF的長度是　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據已知條件得到∠ADC=∠CEB=90°，于是得到∠ACD+∠DAC=90°，由于∠ACB=90°，于是得到∠ACD+∠ECB=90°，根據余角的性質得到∠DAC=∠ECB，即可得到結論；
（2）通過△ACD≌△BCE，得到AD=CE=1，CD=BE=2，根據勾股定理得到AC=BC=，AB=，然后根據平行線分線段成比例即可得到結論．

（1）∵l1∥l3，CD⊥l1，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∴△ACD∽△CBE；
（2）在△ACD與△CBE中，

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=CE=1，CD=BE=2，
∵∠ADC=CEB=90°，
∴AC=BC=，
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
∴AF=．
故答案為：．