Question

【題目】如圖1，已知∠ABC=90°，△ABC是等腰三角形，點D為斜邊AC的中點，連接DB，過點A作∠BAC的平分線，分別與DB，BC相交于點E，F．

（1）求證：BE=BF；

（2）如圖2，連接CE，在不添加任何輔助線的條件下，直接寫出圖中所有的等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ABD、△CBD是等腰三角形，△ABC是等腰三角形，△BEF是等腰三角形.

【解析】

（1）根據直角三角形的性質得到BD⊥AC，∠DBC=45°，根據角平分線的定義得到∠BAF=22.5°，根據三角形內角和定理計算，根據等腰三角形的判定定理證明即可；

（2）根據等腰三角形的概念解答．

（1）證明：∠ABC=90°，BA=BC，點D為斜邊AC的中點，

∴BD⊥AC，∠DBC=45°，

∵AF是∠BAC的平分線，

∴∠BAF=22.5°，

∴∠BFE=67.5°，

∴∠BEF=180°﹣∠EBF﹣∠EFB=67.5°，

∴∠BFE=∠BEF，

∴BE=BF；

（2）∵∠ABC=90°，BA=BC，點D為斜邊AC的中點，

∴BD=AD=CD，

∴△ABD、△CBD是等腰三角形，

由已知得，△ABC是等腰三角形，

由（1）得，△BEF是等腰三角形，

∵AF是∠BAC的平分線，BD是∠ABC的平分線，

∴點E是△ABC的內心，

∴∠EAC=∠ECA=22.5°，

∴△AEC是等腰三角形．