Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，點B（0，12），點A在第一象限內，△AOB為等腰三角形，∠BAO=90°，AB=AO，AC⊥OB，點D從點B出發，以每秒2個單位的速度沿y軸向終點O運動，連接DA，過點A作AE⊥AD，射線AE交x軸于點E，連接BE，交線段AC于點F，交線段OA于點G．

（1）請直接寫出A的坐標；

（2）點D運動的時間為t秒時，用含t的代數式表示△ACD的面積S，并寫出t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當四邊形DAEO的面積等于6S時，求△AGF的面積．

　

Answer 1

【答案】（1）A（6，6）；（2）當點D在線段BC上時（不包括點C），即：0≤t＜3，S= 18﹣6t，當點D在線段BC上時（不包括點C），即：3＜t≤6，∴S= 6t﹣18；（3）①當點D在線段BC上時（不包括點C），即：0≤t＜3，S△AFG=6；②當點D在線段OC上（不包括點C），即：3＜t≤6，S△AFG=．

【解析】

（1）先確定出OB=12，再用等腰直角三角形的性質得AC=BC=OC=OB=6，即可得出結論；

（2）當點D在線段BC上時（不包括點C），即：0≤t＜3，得出CD=BC-BD=6-2t，利用三角形面積公式即可；

當點D在線段BC上時（不包括點C），即：3＜t≤6，如圖2，CD=BD-BC=2t-6，最后利用三角形面積公式即可；

（3）①當點D在線段BC上時（不包括點C），即：0≤t＜3，如圖1，先判斷出S△ACD=S△AME，進而S四邊形DOEA=S正方形ACOM=AC2=36，即可求出S，進而t=2，CD=EM=2，OE=4，再求出AF=AC-CF=4=OE，最后判斷出△AFG≌△OEG，求出PG=QG=6即可得出結論；

②當點D在線段OC上（不包括點C），即：3＜t≤6，如圖2，同①的方法知，S=6，t=4，CD=EM=2，OE=8，同①的方法得，OF=4，即AF=AC-OF=2，再判斷出△AFG∽△OEG，得出h'=4h，即可得出h=即可得出結論．

（1）∵B（0，12），

∴OB=12，

∵△AOB為等腰三角形，∠BAO=90°，AB=AO，AC⊥OB，

∴AC=BC=OC=OB=6，

∴A（6，6）；

（2）當點D在線段BC上時（不包括點C），即：0≤t＜3，如圖1，

由運動知，BD=2t，

∴CD=BC﹣BD=6﹣2t，

∴S=S△ACD=CD×AC=18﹣6t，

當點D在線段BC上時（不包括點C），即：3＜t≤6，如圖2，

由運動知，BD=2t，

∴CD=BD﹣BC=2t﹣6，

∴S=S△ACD=CD×AC=6t﹣18；

（3）①當點D在線段BC上時（不包括點C），即：0≤t＜3，如圖1，

過點A作AM⊥x軸于M，

∴四邊形OCAM是矩形，

∵A（6，6），

∴AC=AM，

∴矩形OCAM是正方形，

∴OM=AC=6，∠CAM=90°，

∵∠DAE=90°，

∴∠CAD=∠EAM，

在△ACD和△AME中，

，

∴△ACD≌△AME，

∴S△ACD=S△AME，

∴S四邊形DOEA=S△ACD+S四邊形COEA=S△AMF+S四邊形COEA=S正方形ACOM=AC2=36，

∵四邊形DAEO的面積等于6S，

∴6S=36，

∴S=6，

由（2）知，S=18﹣6t，

∴18﹣6t=6，

∴t=2，

∴CD=EM=6﹣2t=2，

∵OM=6，

∴OE=OM﹣EM=4，

∵AC∥OM，OC=BC，

∴CF=OE=2，

∴AF=AC﹣CF=4=OE，

過點G作GQ⊥OM于Q，交AC于P，

∴PG⊥AC，

∴四邊形OCPQ是矩形，

∴PQ=OC=6，

易知，△AFG≌△OEG，

∴PG=QG=6，

∴S△AFG=AF×PG=6；

②當點D在線段OC上（不包括點C），即：3＜t≤6，如圖2，

同①的方法知，S=6，

∵S=6t﹣18，

∴6t﹣18=6，

∴t=4，

∴CD=EM=2，

∴OE=8，

同①的方法得，OF=4，

∴AF=AC﹣OF=2，

∵AC∥OM，

∴△AFG∽△OEG，

設△AFG的邊AF上的高為h，△OEG的邊OE上的高為h'，

∴．

∴h'=4h，

∵h+h'=6，

∴h=，

∴S△AFG=AF×h=．